Метод интегрирования по частям

Метод интегрирования по частям

Тема 14. Способы интегрирования

Приведем главные способы вычисления неопределенного интеграла.

Способ подмены переменной

Его внедрение базируется на последующей «цепочке» равенств:

где F(t) первообразная функции f(t). Дальше нужно подставить заместо t выражение g(x).

Способ подстановки

Описывается равенством

Этот способ употребляют в этом случае, если последний интеграл рассчитывается проще чем данный.

Способ поднесения под символ Метод интегрирования по частям дифференциала

Для вычисления интеграла употребляют определение дифференциала:

Согласно этому способу не делают очевидно подмену переменной, подразумевая, что g(x) играет роль новейшей независящей переменной.

При использовании способа поднесения под символ дифференциала, способа подмены переменной, способа подстановки комфортно использовать простые преобразования дифференциала:

1) (b – случайная неизменная величина);

2) (неизменная );

3) (неизменная

Пример 1. Отыскать неопределенный интеграл Метод интегрирования по частям:

1) 2) 3) 4)

Решение.1) 1-й метод. Используем способ подмены переменной. Положим Тогда Имеем:

Для вычисления интеграла использовали формулу таблицы неопределенных интегралов.

2-й метод. Используем способ поднесения под символ дифференциала. Представим данный интеграл в последующем виде:

Беря во внимание, что по формуле таблицы неопределенных интегралов получаем:

2) Так как то Поднесение Метод интегрирования по частям под дифференциал приводит дальше к интегралу

Для вычисления интеграла использовали формулу таблицы неопределенных интегралов.

3) Разумеется, что Означает,

Применяя формулу таблицы интегралов, получаем ответ:

4) Используя 2-ое свойство неопределенного интеграла, представим данный интеграл в виде суммы 2-ух интегралов:

Вычислим приобретенные интегралы раздельно. Потому что то, используя дальше формулу таблицы интегралов, получаем:

Потому что Метод интегрирования по частям то по формуле таблицы интегралов имеем:

Подставив отысканные значения интегралов I1(x) и I2(x) в начальный интеграл, приходим к ответу:

Пример 2. Способом подстановки отыскать интеграл:

1) 2) 3)

Решение.1) Используем способ подстановки. Положим тогда

Для вычисления последних интегралов использовали формулы таблицы интегралов. Выразим переменную t через переменную x.

Тогда

Получаем Метод интегрирования по частям ответ:

2) Применим подстановку тогда Таким макаром,

Для вычисления интеграла использовали формулу таблицы интегралов.

3) Применим подстановку тогда Получаем:

Используя тригонометрическое тождество имеем:

Вернемся к переменной x, зачем выразим t через x из подстановки Тогда

Таким макаром,

Способ интегрирования по частям

Пусть функции и имеют непрерывные производные и Тогда имеет место равенство

(1)

Формула (1) задает Метод интегрирования по частям способ интегрирования по частям, согласно которому интегрирование выражения udv сводится к интегрированию выражения vdu Применение формулы (1) подразумевает, что в правой части интеграл может быть вычислен легче, чем начальный. Формула (19.20) может быть записана также в виде

Рациональность вычисления неких интегралов находится в зависимости от того, как выбраны функции и в данном Метод интегрирования по частям интеграле.

Формула интегрирования по частям может применяться не один раз.

Разглядим последующие случаи:

1. Для вычисления интегралов вида где – многочлен степени n, в качестве функции следует взять многочлен а в качестве – одно из выражений соответственно. При всем этом формулу интегрирования по частям следует использовать n раз.

2. Для интегралов вида Метод интегрирования по частям и в качестве функции можно взять либо Формулу интегрирования по частям следует применить два раза, а потом из приобретенного равенства, как из уравнения, отыскать данный интеграл.

3. Для интегралов вида в качестве u(x) берут функции lnx, а в качестве dv – выражение Таковой подход употребляют тогда и, когда

В почти всех Метод интегрирования по частям случаях подынтегральная функция зависит не только лишь от аргумента, да и от натурального индекса n. Способом интегрирования по частям удается привести интеграл к интегралу таковой же формы, но с наименьшим значением индекса. После нескольких таких шагов приходят к интегралу, который можно вычислить при помощи таблицы. Таковой способ интегрирования именуют Метод интегрирования по частям рекуррентным способом, а полученную формулу – рекуррентной формулой.

Пример 1. Способом интегрирования по частям отыскать неопределенный интеграл:

1) 2) 3)

Решение. 1) Положим Тогда Используя формулу (19.20) интегрирования по частям, получаем:

2) Применим формулу (1) интегрирования по частям:

3) Положим Тогда Применяя формулу (19.20), получаем:

Применив формулу интегрирования по частям, снизили степень многочлена на единицу. Чтоб отыскать применим снова Метод интегрирования по частям способ интегрирования по частям. Положим Тогда Получаем:

Пример 2. Способом интегрирования по частям отыскать неопределенный интеграл:

1) 2)

Решение.1)Интеграл уже был вычислен в параграфе 19.2. (см. пример 2, с. 15–16 данного пособия) способом подстановки. Разглядим 2-ой метод его вычисления, используя способ интегрирования по частям:

Вычислим последний интеграл, используя формулу (19.14) таблицы интегралов. Получим равенство

В правой части этого равенства Метод интегрирования по частям получили начальный интеграл. Найдем его из уравнения: откуда получаем ответ:

2) Используя формулу интегрирования по частям два раза, получаем:

В итоге получили равенство

из которого находим:

Приходим к ответу:

Пример 3. Отыскать неопределенный интеграл

Решение. Используя формулу (1) интегрирования по частям, получаем:

Пример 4.Отыскать неопределенный интеграл

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение:

Последний интеграл Метод интегрирования по частям вычислим, применяя формулу интегрирования по частям.

Полагаем

Если то

Тогда

Таким макаром, получаем выражение интеграла через интеграл

Вычисляем аналогично начальному.

Для вычисления последнего интеграла применяем формулу интегрирования по частям:

Имеем:

Получаем:

Пример 5. Получить рекуррентную формулу для вычисления интеграла Используя ее, вычислить

Решение. Обозначим

Мы получили:

Выражаем:

Это и есть рекуррентная формула Метод интегрирования по частям, которая позволяет уменьшать показатель степени в подынтегральной функции до того времени, пока не придем к интегралу либо зависимо от того, является ли n числом четным либо нечетным.

Используем ее для вычисления

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1. Какие способы вычисления неопределенных интегралов вы понимаете?

2. В чем заключается способ подмены переменной в неопределенном интеграле Метод интегрирования по частям?

3. Запишите формулу для вычисления неопределенного интеграла по частям.

Домашнее задание:[1], ч.4, §19.2, №1.1, №1.2, §19.4


metod-ekvivalentnogo-generatora.html
metod-elektroprovodnosti-v-medicine.html
metod-finansovoj-deyatelnosti-sposob-osushestvleniya-finansovoj-deyatelnosti.html