Метод Эйлера решения линейных однородных систем

Разглядим систему

Как надо из общей теории решения однородных линейных систем дифференциальных уравнений, общее решение системы имеет вид

где – базовая системы решений, а – произвольные неизменные.

Разглядим способ построения базовой системы решений, который именуют способом Эйлера.

Личные решения, образующие фундаментальную систему решений, будем находить в виде

. (7)

Неизменные (числа и не равны нулю сразу) находят Метод Эйлера решения линейных однородных систем из последующих критерий.

I.Число является корнем уравнения

. (8)

Уравнение (8) именуется характеристическим уравнением системы (6). Чтоб составить характеристическое уравнение, необходимо:

1) записать матрицу из коэффициентов при неиз­вестных правой части системы (6);

2) составить матрицу . Матрицу именуют характеристической матрицей системы;

3) вычислить определитель характеристической матрицы

=

и приравнять его к нулю .

Корешки этого уравнения именуют характеристическими корнями либо Метод Эйлера решения линейных однородных систем характеристическими числами системы (6). Вероятны три разных варианта:

· корешки характеристического уравнения действительные и разные;

· корешки – действительные и равные;

· корешки – комплексно-сопряженные.

В. Коэффициенты и в записи функций

являются решением системы

(.9)

где – корень характеристического уравнения. Такая алгебраическая система однородных линейных уравнений имеет нескончаемое огромное количество решений, но в задачке нахождения ФСР необходимо взять одно Метод Эйлера решения линейных однородных систем ненулевое решение. При всем этом необходимо ли составлять и решать систему (.9) для каждого из характеристических корней, находится в зависимости от вида этих корней.

а) Если корешки характеристического уравнения действительные и разные, то, подставляя попеременно в систему (9) любой из корней и решая ее, находим числа . В итоге можно Метод Эйлера решения линейных однородных систем записать два личных решения системы (6):

,

.

Эти решения и образуют фундаментальную систему решений. В данном случае общее решение системы (6) имеет вид

б) Если корешки характеристического уравнения комплексно-сопряженные: , то в систему (9) составляют и решают только для 1-го из этих чисел, к примеру, . В данном случае решение системы также будет всеохватывающим: , а Метод Эйлера решения линейных однородных систем соответственное ему личное решение системы дифференциальных уравнений будет иметь вид

.

Чтоб выстроить фундаментальную систему решений, необходимо отделить действительные и надуманные части этих всеохватывающих функций. Для этого следует:

1) записать функцию в виде ;

2) подставить это в функции , и конвертировать:

,

;

3) отделить в этом решении действительные и надуманные части и записать два реальных Метод Эйлера решения линейных однородных систем линейно независящих личных решения системы дифференциальных уравнений, которые образуют фундаментальную систему решений:

и

,

Тогда общее решение системы (6) в случае всеохватывающих корней характеристического уравнения имеет вид

в) Если корешки характеристического уравнения действительные и равные: , то сходу находят общее решение системы (6), минуя конкретное отыскание ФСР. Это решение ищут в виде

(10)

где – некие неведомые числа Метод Эйлера решения линейных однородных систем.

Подставляя эти функции в одно из уравнений системы (6) и преобразовывая приобретенные выражения, получают равенство 2-ух многочленов первой степени относительно переменной t. Приравнивая коэффициенты при t и свободные члены этих многочленов, получают алгебраическую систему 2-ух линейных однородных уравнений относительно неведомых , , . Эта система имеет нескончаемое огромное количество решений и в рассматриваемом случае Метод Эйлера решения линейных однородных систем находят её общее решение*). Подставляя в (10) отысканные значения , , , зависящее от случайных неизменных , получают общее решение системы дифференциальных уравнений.

Из вышесказанного следует, что если характеристическое уравнение линейной однородной системы дифференциальных уравнений (6) имеет действительные и разные корешки либо комплексно-сопряженные корешки, то для отыскания общего решения находим фундаментальную систему решений. Если Метод Эйлера решения линейных однородных систем же корешки действительные и равные, то общее решение можно отыскать, не отыскивая ФСР. Потому начинать решение системы дифференциальных уравнений следует с нахождения корней характеристического уравнения.

Разглядим примеры.

Пример 1 Решить способом Эйлера систему дифференциальных

уравнений

Решение

Запишем матрицу из коэффициентов при неведомых системы:

,

составим характеристическую матрицу

.

Тогда характеристическое уравнение имеет вид

.

Вычислим определитель

.

Тогда получим уравнение

,

корешки которого Метод Эйлера решения линейных однородных систем , .

Получили два реальных и разных характеристических корня, потому будем находить фундаментальную систему решений в виде

;

(смотри условие В,a).

Для отыскания чисел составим систему вида (4):

и для каждого из чисел , найдем надлежащие ненулевые решения этой системы.

При имеем

Þ

Коэффициенты при неведомых этой системы пропорциональны, потому она равносильна одному из уравнений Метод Эйлера решения линейных однородных систем этой системы, к примеру

*).

Это уравнение имеет нескончаемо много ненулевых решений. Перепишем его в виде . Положив, к примеру, , получим . Тогда . Как следует, 1-ое решение базовой системы, соответственное корню , имеет вид

, .

При имеем

Þ

Система равносильна одному уравнению , откуда . Положив , получим , означает, . Соответственное корню решение базовой системы имеет вид

, .

Используя полученную фундаментальную систему Метод Эйлера решения линейных однородных систем , запишем общее решение системы в виде

В нашем случае получим

Ответ:

Пример 2 Решить способом Эйлера систему

Решение. Характеристическая матрица системы имеет вид

.

Тогда характеристическое уравнение:

Þ Þ .

Решая это уравнение, получаем

.

Таким макаром, характеристическое уравнение имеет комплексно-сопряженные корешки , (случай В,б), где ).

Составим систему вида (4.9):

и найдем её ненулевое решение для 1-го из корней характеристического уравнения Метод Эйлера решения линейных однородных систем. Подставив в эту систему, к примеру, , получим

Так как определитель этой системы равен нулю (число – корень характеристического уравнения), то одно из уравнений системы является следствием другого*). Потому система равносильна одному из её уравнений. Возьмем, к примеру, 2-ое уравнение и решим его:

, либо .

Отсюда имеем , . Полагая тут , получим .

Тогда соответственное всеохватывающее решение Метод Эйлера решения линейных однородных систем системы дифференциальных уравнений имеют вид

.

Чтоб выстроить фундаментальную систему решений, отделим действительные и надуманные части этих всеохватывающих функций. Для этого сначала запишем

.

Подставим приобретенное выражение в функции , и преобразуем:

,

.

Отделив в этих функциях действительные и надуманные части, получим две пары функций, образующие фундаментальную систему решений данной системы дифференциальных уравнений Метод Эйлера решения линейных однородных систем:

, ,

, .

Означает, общее решение системы имеет вид

Ответ:

Пример 3 Решить систему

Решение. Находим корешки характеристического уравнения:

Þ Þ Þ .

Потому что корешки равные, то будем находить сходу общее решение системы в виде

(à)

где – подлежащие определению числа. Чтоб их отыскать, используем тот факт, что функции являются решением данной системы дифференциальных уравнений, и означает, удовлетворяют каждому Метод Эйлера решения линейных однородных систем из уравнений системы.

Подставим функции (à) в 1-ое уравнение данной системы. Для этого сначала найдем производную функции :

.

В итоге подстановки получим:

Þ .

Преобразуем левую и правую части этого равенства:

,

,

.

Получили равенство 2-ух многочленов первой степени относительно переменной t. Приравнивая коэффициенты при t, и свободные члены этих многочленов, получим:

либо

Получили алгебраическую систему 2-ух линейных Метод Эйлера решения линейных однородных систем однородных уравнений с 4-мя неведомыми , , . Просто убедиться в том, что ранг основной матрицы этой системы равен двум, означает, система имеет огромное количество решений. Запишем ее в виде

Полагая тут , , где – произвольные неизменные, запишем общее решение этой системы

Подставляя отысканные значения , , в (à), получим общее решение данной системы дифференциальных уравнений Метод Эйлера решения линейных однородных систем:

Ответ:

Способ исключения

Разглядим способ интегрирования систем линейных дифференциальных уравнений, именуемый способом исключения. Этот способ состоит в сведении системы к одному либо нескольким линейным дифференциальным уравнениям с одной неведомой функцией в каждом.

Проиллюстрируем этот способ на примерах.

Пример 5 Решить способом исключения систему дифференциальных уравнений

Решение

Преобразуем заданную систему уравнений к дифференциальному Метод Эйлера решения линейных однородных систем уравнению от одной из неведомых функций. Для этого комфортно из первого уравнения системы выразить у через и :

. (à)

Продифференцируем обе части этого равенства:

.

Подставим эти выражения для и у во 2-ое уравнение системы:

Þ . (àà)

Получили линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции . Чтоб отыскать общее решение этого уравнения, найдем фундаментальную систему решений Метод Эйлера решения линейных однородных систем. Характеристическое уравнение имеет корешки:

.

Как следует, общее решение уравнения (àà) имеет вид

.

Чтоб найти функцию , используем равенство (à). Найдем

и подставим в равенство (à). Получим

.

Таким макаром, общее решение системы дифференциальных уравнений имеет вид

Ответ:

Пример.6 Решить систему линейных дифференциальных уравнений

Решение: Из второго уравнения выразим *):

, откуда .

Подставим эти выражения для х и в 1-ое уравнение Метод Эйлера решения линейных однородных систем системы и преобразуем:

, , .

Получили линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно неведомой функции . Найдем общее решение этого уравнения.

Корешки характеристического уравнения:

Þ .

Отсюда общее решение дифференциального уравнения имеет вид

.

Найдем функцию . Имеем

.

Тогда

=

.

Итак, общее решение данной системы имеет вид

Ответ: .

Пример 7 Решить способом исключения

Решение

Из первого уравнения системы выразим у:

,

откуда . Подставляя эти Метод Эйлера решения линейных однородных систем выражения для у и у¢ во 2-ое уравнение системы, получим

,

.

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка, правая часть которого имеет особый вид (таблица 3.3, II, стр.59).

Общее решение этого уравнения будем находить в виде

,

где – общее решение соответственного линейного однородного дифференциального уравнения, а – какое-либо личное решение рассматриваемого уравнения. Найдем Метод Эйлера решения линейных однородных систем каждое из этих решений.

Соответственное однородное дифференциальное уравнение имеет вид

.

Найдем его общее решение . Корешки характеристического уравнения:

Þ .

Тогда .

Личное решение дифференциального уравнения подберем по виду его правой части

.

Разумеется, это – функция типа где – многочлен нулевой степени, а число не является корнем характеристического уравнения. Означает, личное решение будем находить в виде

,

где А Метод Эйлера решения линейных однородных систем – неведомый числовой коэффициент. Для его вычисления найдем производные от функции :

,

и подставим все эти выражения в уравнение заместо неведомой х и ее производных:

, откуда , .

Означает, , а общее решение уравнения имеет вид

.

Сейчас найдем вторую неведомую функцию , используя соотношение

.

Для этого найдем производную функции :

.

Тогда

.

Таким макаром, общее решение системы имеет Метод Эйлера решения линейных однородных систем вид

Ответ: .


*) Определитель именуется определителем Вронского для системы функций

*) Подтверждено, что ранг таковой системы, приобретенной в процессе решения рассматриваемой задачки, равен двум, потому её общее решение содержит две произвольные неизменные .

*) В схожих случаях советуем выбирать более обычное из уравнений приобретенной системы, т.е. с наименьшими коэффициентами.

*) В этом просто убедиться, умножив, к примеру Метод Эйлера решения линейных однородных систем, 1-ое уравнение на число .

*) Заметим, что можно было бы выразить через и из первого уравнения.


metapamyat-vse-prava-zashisheni-nikakaya-chast-dannoj-knigi-ne-mozhet-bit-vosproizvedena-v-kakoj-bi-to-ni-bilo-forme.html
metapredmetnie-rezultati-gimnaziya-1.html
metapredmetnie-rezultati-osnovnaya-obrazovatelnaya-programma-nachalnogo-obshego-obrazovaniya-municipalnogo-kazennogo.html